Метод наименьших квадратов

При аппроксимации большого числа экспериментальных точек, найденных с некоторой погрешностью интерполяция становится неудобной, сложной и неразумной, поскольку при большим количестве узлов она приводит к построению многочлена высокой степени, либо другой громоздкой функции с «извилистым» графиком, проходящим через все табличные точки. В этом случае целесообразно строить приближающую функцию так, чтобы сгладить влияние погрешности измерения и числа точек эксперимента. Такое сглаживание реализуется при построении приближающей функции методом наименьших квадратов (МНК). Метод наименьших квадратов (МНК) является одним из методов регрессионного анализа, который используется для статистического оценивания параметров регрессионной модели с эмпирическими данными. Согласно этому методу параметры модели должны соответствовать такому уравнению регрессии, которое обеспечивает наименьшее значение суммы квадратов отклонений эмпирических данных от тех, которые вычислены по уравнению регрессии. Так, из двух разных приближений той же эмпирической функции, заданной в виде таблицы, лучшим считается то, для которого сумма квадратов отклонений имеет наименьшее значение. Таким образом, тема данной работы является актуальной. Цель работы: провести теоретическое обобщение вопроса метод наименьших квадратов. Объектом исследования является метод наименьших квадратов. Предметом исследования является применение метода наименьших квадратов. Для достижения поставленной цели исследования необходимо последовательно решить взаимосвязанную совокупность задач: - расширение и углубление теоретических знаний о методе наименьших квадратов; - рассмотреть основные определения и формулировки, касающиеся метода наименьших квадратов; - овладение методологией и методикой построения, анализа и применения метода наименьших квадратов для линейной парной регрессии. Структура работы представлена двумя разделами, введением и заключением и списком использованной литературы. В первой главе раскрываются теоретические основы метода наименьших квадратов. Во второй главе проводится построение регрессионной модели с применением МНК.

В первой части работы рассмотрены основные определения и формулировки, касающиеся метода наименьших квадратов По результатам теоретических исследований сделаны выводы, что МНК – это один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. МНК применяется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и оказывается полезным при обработке данных эксперимента. Вторая часть работы была посвящена овладению методологией и методикой построения, анализа и применения метода наименьших квадратов для линейной парной регрессии По результатам исследования сделаны выводы, что на практике чаще всего применяется линейный метод наименьших квадратов, что используется в случае системы линейных уравнений. В частности важным применением в этом случае является оценка параметров в линейной регрессии, которая широко применяется в математической статистике и эконометрике МНК и по настоящее время широко применяется при обработке количественных результатов экспериментальных наблюдений и различного рода измерений.

1. Гиляревский Р.С., Родионов И.И., Залаев Г.З., Цветкова В.А. Информатика как наука об информации. Информационный, документальный технологический, экономический, социальный и организационный аспекты. М.: Фаир-Пресс; Гранд, 2006. – 272 с. 2. Гусаров В. М. Теория статистики: Учебн. пособие для вузов. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 2000. – 247 с. 3. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2000. – 479 с. 4. Джунь И.В. Об одном обобщении фундаментального принципа метода наименьших квадратов в связи с эволюцией представлений о законе ошибок наблюдений / Джунь Иосиф Владимирович // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2013. – №6. – С. 19–26. 5. Эконометрика: учебник / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. И доп. - М: Финансы и статистика, 2008. – 576с. 6. Эконометрика: Учебник / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко; ВЗФЭИ; Под ред. Н.Ш.Кремера. - 3-е изд.; перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 2010. – 328 с. 7. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие / И.В. Орлова, В.А. Половников. - 3-e изд., перераб. и доп. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2011. – 389 с. 8. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Е51 Общая теория статистики [Электрон. ресурс]: учебник / И.И. Елисеева. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2004. — 656 с. 9. Информатика: Базовый курс / С.В. Симонович и др.- 2-е изд., перераб. и доп. - СПб: Питер, 2006. – 640 с. 10. Математические основы информатики. Элективный курс: Учебное пособие / Е.В. Андреева, Л.Л. Босова, И.Н. Фалина – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2005. – 328 с. 11. Носко В.П. Эконометрика. Кн.1. Ч.1.: учебник. - М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2011. – 672 с. 12. Орлова И.В. Экономико-математические модели: компьютерное моделирование.-3-е изд.: Учебное пособие / И. В. Орлова, В. А. Половников – М.: Инфра-М, 2014. – 389 с. 13. Практикум по эконометрике. / Под ред. чл.-кор. РАН И.И. Елисеевой. М: Финансы и статистика, 2008. – 192 с. 14. Сизова Т.М., Мишура Л.Г. Статистика: Практикум [Электрон. ресурс]: учеб. пособие. - Санкт-Петербург: Университет ИТМО, 2016. - 61 с. 15. Статистика: учебник для бакалавров / под. ред. И. И. Елисеевой. – 3- езд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014. – 558 с. 16. Статистика: учебник и практикум для академического бакалавриата / В. С. Мхитарян [и др.] ; под ред. В. С. Мхитаряна. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 250 с. 17. Степанов А.Н. Информатика: Учебник для вузов. 5-е изд. / А.Н. Степанов. – СПб.: Питер,2007. – 765 с. 18. Тихомиров, Н.П. Эконометрика: Учебник / Н.П.Тихомиров, Е.Ю. Дорохина. – М.: Экзамен, 2003. – 512 с. 19. Тихомиров Н. Методы эконометрики и многомерного статистического анализа; Экономика - М., 2014. – 822 c. 20. Теория статистики: Учебник/Под ред. Проф. Р. А. Шмойловой. – 3-е изд., перераб. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 560. –с.: ил. 21. Фурс, А.Н. Задачи по теории вероятностей и математической статистике/ А.Н. Фурс, Г.С. Шуляковский. – Мн.: БГУ, 2007. – 103 с.