Применение теоремы косинусов в решении геометрических задач

Какие задачи из элементарной математики считаются самими трудными? Наверно, большинство учителейи учеников ответят, что геометрические.Потому что в алгебре, тригонометрии, началах математического анализа разработана целая серия алгоритмов решения типовых задач. А потому трудности чаще всего носят технический, а не принципиальный характер. Иное дело геометрические задачи. Здесь, как правило, алгоритмов нет, да и выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из их обширного списка не просто. Теорема косинусов - это теорема, которую знать просто необходимо для решения задач в курсе геометрии.Она применяется длянахождения неизвестных сторон и углов. Глава 1. Геометрия в ЕГЭ Всё сказанноево введениинашло отражение как в зеркале в результатах ЕГЭ нескольких последних лет. Согласно плану составления вариантов КИМ в работы прошлых лет были включены две задачи по геометрии повышенного уровня (задания В10, В11) иодна задача высшего уровня С4. Остановимся на заданиях В10, В11. и из года в год по этим задачам получаются низкие результаты – от 2? до 24? верных ответов, причемс этими задачами справляются лишь категория учащихся с «высокой» (отметка «5») математической подготовкой. По подавляющему большинству задач правильные ответы получили более 60? таких учащихся. Из учащихся с хорошей математической подготовкой менее 20? экзаменующихся успешно решили эти задачи[4]. Выяснение причин не успеха при решении геометрических задач ЕГЭ стоит начать с рассмотрения их особенностей. Во- первых, все геометрические задачи в вариантах КИМявляются вычислительными, следовательно чтобы успешно их решить, необходимоотработатьаппарат стандартныхвычислений. Во- вторых, несмотря на то, что задачиявляются вычислительными, для их решениянужноуверенноевладение теоретическим материалом. В- третьих,чтобы успешно решить задачи необходимо умениевыделять стандартные конфигурации и применять несколько изученных свойств, относящихся к разным разделам курса геометрии. В- четвертых,«ключевым моментом »в решениизаданий по геометрии повышенного уровня сложности выступаетиспользование определения или свойства фигуры в несколькоизмененнойситуации, что требует от учащихся гибкого мышления. В рамках подготовки разговора о новой модели контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике остановимся на увеличении доли заданий по геометрии: теперь их пять вместо привычных трех. Это задания В4, В6, В9 (стереометрия) с записью ответа, задание С2 (стерео метрия) повышенного уровня сложности, задание С4 (планиметрия) высокого уровня сложности. Заметим, что задание С2 упрощено: хотя при решении стереометрической задачи предполагается по-прежнемуразвернутыйответ, но задачеприсвоен лишь повышенный уровень сложности. Возрос статус планиметрической задачи: во-первых, теперь требуется обоснованное решение, во-вторых, задача высокого уровня сложности и оценивается в 4 балла. Для чего были сделаны эти изменения? Думается, что увеличение числа геометрических задач разного уровня сложности вновьпривлечетк изучению этого предмета, столь часто прерывавшиеся в последние время банальным «они такие сложные, что все равно на экзамене решить не смогу». В рамках решения проблемы улучшения геометрической подготовки школьников хочется остановиться на организации повторения материала по планиметрии к ЕГЭ в 11 классах. Очевидно, что выстраивать его нужно таким образом, чтобы оно решало проблемы, обусловленные спецификой проверки планиметрической подготовки учащихся в ходе ЕГЭ. 1. Необходимо повторить материал курса планиметрии, изучавшийся намного раньше. Хотя при изучении стереометрии часть материала использовалась, однако это далеко не весь материал и не в слишком разнообразных ситуациях. Поэтому учащимся следует напомнить теоретические факты курса планиметрии, часто используемых в решении задач. 2. Поскольку для решения задач важно не столько знатьопределенноесвойство, сколько уметь применять его, то каждый повторяемый факт должен быть не только проиллюстрирован, но и отработан на уровне его прямого применения. Для этой цели можно использовать достаточно простые (1-2 шаговые) задачи (удобны задачи по готовым чертежам), специально составленные или отобранные из различных пособий по геометрии. 3. Специфика планиметрических задач, используемых в вариантах прошлых лет, таковы, что рациональный способ решения содержит немного шагов (2-3), но используемая в задаче ситуация не самая типичная, а требующая либо умения применять факты визмененнойситуации, либо знаний о свойствах различных конфигураций и владением способами решения различных типов задач. Потому при повторении материала надо сформировать у учащегося представление о комплексе свойств рассматриваемых фигур и о связанных с данной конфигурацией способов решения задач. При повторении мы не связаны необходимостью рассматривать материал в том порядке, который обусловлен логикой построения теоретической линии курса. Более целесообразно при повторении рассматривать факты, группируя их вокругопределенныхфигур. Кроме того, в современных учебниках к теоретическим фактам (теоремам), отнесены только те утверждения, которые необходимы для построения теории.

В заключение хотелось бы отметить, что главной целью для учителя должно быть не только подготовка к ЕГЭ , но и развитие основных компетентностей учащихся, формирование умения применять полученные знания в жизненных ситуациях. В ЕГЭ 2013года включены геометрическиезадачи практического содержания, некоторые из которых невозможно решить без применения теоремы косинусов.

АтанасянЛ.С. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. –М.: Просвещение, 2005. ЕГЭ – 2012: математика: реальные задания / авт.-сост. В.В.Кочагин, Е.М.Бойченкои др. – М.: АСТ, 2012. – 125с. Математика. подготовка к ЕГЭ-2013. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. – Ростов – на – Дону: Легион, 2013.400с. Об использовании результатов единого государственного экзамена 2008 года в преподавании математики в образовательных учреждениях среднего (полного) общего образования: Методическое письмо.–URL: http://window.edu.ru/resource/252/59252.