Классические теоремы о коллинеарности трех точек

По мнению известного математика И. Шарыгина «математика начинается с треугольника»1 Шарыгин. И. Теоремы Чевы и Менелая // Квант, 1976, №11. С. 22 . В самом деле, первые содержательные теоремы встречаются современному школьнику именно при изучении треугольника, а до этого момента ученик сталкивался лишь с аксиомами, определениями и простейшими следствиями из аксиом. Однако не все теоремы, касающиеся треугольников, входят в школьный курс планиметрии. Многие теоремы остались за рамками школьного курса, в том числе теоремы, касающиеся коллинеарности трёх точек – теорема Менелая, теорема Гаусса, теорема Дезарга, теоремы Паскаля для треугольника и вписанного шестиугольника. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода: - один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник – окружность; треугольник – секущая прямая; треугольник – три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.), - а второй – метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи). Указанные выше теоремы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям. Например, теорема Менелая первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей). Очень часто решение задачи и время, затраченное на это, можно существенно сократить, применяя для её решения не стандартные теоремы курса математики, а именно теоремы о коллинеарности трёх точек. Что становится особенно важным в условиях жёстких временных рамок на ОГЭ и ЕГЭ. Именно этим и объясняется актуальность темы данной работы. Объектом исследования являются классические теоремы о коллинеарности трёх точек. Предмет: применение классических теорем о коллинеарности трёх точек к решению задач. Цель курсовой работы: научиться использовать классические теоремы о коллинеарности трёх точек при решении геометрических задач. Задачи: 1) сформулировать и доказать классические теоремы о коллинеарности трёх точек; 2) установить место теорем о коллинеарности трёх точек в школьном курсе математики; 3) изучить исторические аспекты, касающиеся теорем о коллинеарности трёх точек; 4) показать возможность использования теорем о коллинеарности трёх точек в решении геометрических задач. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объём работы 36 листов.

Теоремы о коллинеарности трёх точек не только интересны, но и весьма полезны при решении задач. Часто применение этих теорем позволяет получить более короткое и понятное решение. Теорема Менелая, теорема Гаусса, теорема Дезарга, теоремы Паскаля для треугольника и вписанного шестиугольника не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. В данной работе сформулированы и доказаны классические теоремы о коллинеарности трёх точек, на основе анализа официальных документов установлено место теорем о коллинеарности трёх точек в школьном курсе математики. Далее в работе излагаются основные исторические сведения о времени и обстоятельствах, в которых были сформулированы теоремы о коллинеарности трёх точек. Еще один вопрос, освещенный в данной работе – практическое значение классических теорем о коллинеарности трёх точек в современной науке. Во второй главе работы рассмотрены некоторые задачи на применение теорем о коллинеарности трёх точек.

Литература Вахмянина О.А., Измайлова Т.С., Пособие по проективной геометрии: Учеб. пособие для студентов педагогических вузов – Оренбург: ОГПИ, 1994. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2-е изд., – М., 1966. Геометрия. Профильный уровень: методическое пособие для 10 класса / В.А. Гусев [и др.]. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 167 с. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983. – 351 с. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника.- Одесса, 1902 -334 с. Иванов К.А. «О пропорциональных отрезках в треугольнике» // журнал «Математика в школе», 2004, №8. Истрия математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 1. / под ред. А.П. Юшкевича. – М.: Наука, 1970. – 351 с. Истрия математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 2. / под ред. А.П. Юшкевича. – М.: Наука, 1970. – 300 с. Качалкина Е. «Применение теорем Чевы и Менелая» // журнал «Математика в школе», 2004, №13,14. Коксетер Г., Грейтцер С. Новые встречи с геометрией (выпуск 14 серии "Библиотека математического кружка"). - М.: Наука, 1978. -224 с. Куланин Е. Об одной трудной геометрической задаче // журнал «Квант», 1992, №7. – С. 46-50 Орач Б. Теорема Менелая // журнал «Квант», 1991, № 3. С.52-55 Перспектива. Теоремы Дезарга, Паскаля и Чевы [Электронный ресурс]. URL: Перспектива. Теоремы Дезарга, Паскаля и Чевы (Дата обращения: 12.12.2016) Понарин Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004.— 312 с. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. — 640 с. Примерная основная образовательная программа основного общего образования [Электронный ресурс]. URL: минобрнауки.рф/проекты/413/файл/4587/POOP_OOO_reestr_2015_01.doc (дата обращения: 11.12.2016) Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы: проект. – М.: Просвещение, 2011. – 64 с. Примерные программы среднего (полно) общего образования: математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: 10-11 классы / Е.А. Седова, С.В. Пчелинцев, Т.М. Тищенко и др.; под общ. ред. М.В. Рыжакова. – М.: Вентана-Граф, 2012. – 136 с. Четверухин Н.Ф., Проективная геометрия, 7 изд., М., Государственное учебно-педагогическое издательство, 1961, 360 с.: ил. Шарыгин. И. Теоремы Чевы и Менелая // журнал «Квант», 1976, №11. С. 22-30 Эрдниев Б, Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая // журнал «Квант», 1990, №3. – С. 56-59